خواص هندسی زیر مجموعه های محدب در فضاهای باناخ مختلط

مهمترین قضی? در بررسی خواص هندسی زیرمجموعه های محدب ‎،‎ بسته و کراندار ‎$c$‎ از فضای باناخ ‎$x$‎ بدون شک‎،‎ قضی? بیشاپ-فلپس است که بیان می کند مجموع? نقاط محمل ‎$c$‎ در مرز آن و مجموع? تابعک های محمل آن در ‎$x^*$‎ چگالند‎.‎ دراین رساله با تشریح مقاله ای‎.‎ بیشاپ و آر ‎.‎ آر ‎.‎ فلپس ‎(cite{bp63})‎ و بیان نتایج و قضایای آنها‎،‎ مقدمات بیان و اثبات قضی? بیشاپ-فلپس فراهم می شود‎.‎ بعد به معرفی برخی مفاهیم هندسی دیگر در گوی واحد مانند نقاط فرین‎،‎ اکسپوزد‎،‎ اکسپوزد قوی و ارتباط آنها با یکدیگر پرداخته می شود.چون خاصیت رادون-نیکودیم‎,‎ خاصیت بیشاپ-فلپس را -‎که تعمیمی از قضی? بیشاپ-فلپس است‎-‎ نتیجه می دهد به بیان تعریف آن و برخی مفاهیم مرتبط یا هم ارز آن پرداخته‎,‎ قضایای مربوطه را بیان خواهیم کرد‎.‎ با ارائ? تعریف جدید فلپس از نقط? محمل در فضاهای باناخ مختلط‎,‎ مثال معروف لومونوسوف را که نشان می دهد با این تعریف‎،‎ در حالت کلی‎،‎ قضی? بیشاپ-فلپس در فضاهای مختلط برقرار نیست‎،‎ تشریح خواهیم کرد‎.‎ در فصل دوم ارتباط پروکسیمینال بودن را با قضی? بیشاپ-فلپس بیان کرده و ثابت کرده ایم اگر ‎$g$‎ یک مجموع? محمل در فضای باناخ ‎$x$‎ و ‎$l^{1}(omega,g)$‎ یک مجموع? تجزیه پذیر باشد آنگاه هر تابع ثابت ‎$l^{1}(omega,g)$‎ یک نقط? محمل آن است‎.‎ همچنین اگر زیر فضای ماکسیمال ‎$g$‎ یک $m$-‎ایده آل در فضای باناخ ‎$x$‎ باشد آنگاه ‎$l^{1}(omega,g)$‎ در یک زیر فضای ماکسیمال پروکسیمینال ‎$l^{1}(omega,x)$‎ قرار دارد‎.‎ در ادامه‎،‎ برای برخی مفاهیم هندسی‎،‎ در فضاهای مختلط تعاریف جدیدی مانند نقط? اکسپوزد مطلق و اکسپوزد مطلق قوی را ارائه می دهیم و با استفاده از آنها ثابت می کنیم اگر ‎$c$‎ زیرمجموعه ای بسته از گوی واحد باشد و هر زیرمجموع? ناتهی ‎$c$‎ گودپذیر باشد آنگاه قضی? بیشاپ-فلپس در حالت مختلط برای ‎$c$‎ برقرار است‎.‎ همچنین یک شرط لـازم و کـافی برای وجــود نقـطه سـاپورت زیرمجمـــوعه ای خاص از فضای ‎«بلاخ»‎ را بیان و اثبات می کنیم‎.‎ در انتهای این فصل با یاد آوری نمایش مجموعه ای فضای ‎$l_p(omega, x)$،‎ تحت شرایطی و در قالب یک قضیه ثابت می کنیم اگر ‎$f_0$‎ نقط? اکسپوزد قوی در ‎$l_p(omega, g)$‎ باشد آنگاه به ازای هر ‎$tin omega$، $f_0(t)$‎ اکسپوزد قوی نمایش مجموعه ای آن است‎.‎ در ابتدای فصل سوم‎،‎ شرایط لازم برای چگال بودن عملگرهایی از ‎$l(x,y)$‎ که نرم خود را می گیرند‎،‎ بیان می شود‎.‎ برای اینکه کار نتیجه بخش شود‎،‎ آنها به دو دسته تقسیم شده اند‎.‎ در دسته اول ‎$y$‎ را فضای دلخواه می گیریم و گوییم ‎$x$‎ دارای خاصیت ‎«a»‎ است‎.‎ برعکس در دسته دوم ‎$x$‎ را فضای دلخواه می گیریم و گوییم ‎$y$‎ دارای خاصیت ‎«b»‎ است‎.‎ خاصیت ‎«a»‎ در واقع خاصیت بیشاپ-فلپس برای گوی واحد است‎.‎ برای خاصیت ‎«b»‎ شرط کافی لینت شتراس بنام خاصیت ‎«$eta$»‎ را ثابت می کنیم‎.‎ در بخش بعد شعاع عددی را معرفی می کنیم‎.‎ تقریبا‎ً‎ نظایر قضایای بخش قبل‎،‎ اینجا هم قابل بیان و اثبات هستند و تشابهی خوشایند بین عملگرهایی که نرم خود را می گیرند و آنهایی که شعاع عددی خود را می گیرند‎،‎ مشاهده می شود‎.‎ در ادامه در مورد توابع تمام ریختی که نرم خود را می گیرند و آنهایی که شعاع عددی خود را می گیرند‎،‎ بحث می شود‎.‎ سپس برخی نتایج جدید خود را ثابت می کنیم‎.‎ در انتها‎،‎ چند مسئله باز را که در انجام این تحقیق به آنها رسیده ایم بیان می کنیم‎.‎